2027학년도 대비 자연 C형 문제집

수학 I 삼각함수가 포함된 방정식 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

방정식 \(5\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+4\cos x+a=1\)이 실근을 가지도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열의 귀납적 정의 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

첫째항이 \(\frac{47}{45}\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \frac{2n+1}{n(n+1)}\] 을 만족시킬 때, \(a_{2025} = \frac{q}{p}\)이다. \(\sqrt{p} + q\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수이다.)

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수학Ⅱ 접선의 방정식, 정적분의 활용 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(a \gt 0\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = ax^3\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((5, f(5))\)에서의 접선의 방정식이 점 \((4,2)\)를 지날 때, 두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 로그의 성질 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

\(a = \log_4 27, b = \log_9 25\)일 때, \(\log_5 10 = 1 + \frac{1}{pab}\)이고 \(\log_6 10 = \frac{1+pab}{1+qa}\)이다. \(p\)와 \(q\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 상수이다.)

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수학Ⅰ 로그함수와 수열 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

두 함수 \(y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\), \(y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)\)의 그래프가 점 \(R_1(2,0)\)에서 만난다. 직선 \(y=1\)이 두 함수의 그래프와 만나는 점을 각각 \(P_1, Q_1\)이라 할 때, 삼각형 \(P_1Q_1R_1\)의 넓이를 \(a_1\)이라 하자. 선분 \(P_1Q_1\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 \(2\)인 점을 \(R_2\)라 하고, 직선 \(y=2\)가 두 함수의 그래프와 만나는 점을 각각 \(P_2, Q_2\)라 할 때, 삼각형 \(P_2Q_2R_2\)의 넓이를 \(a_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 삼각형 \(P_nQ_nR_n\)의 넓이를 \(a_n\)이라 하자. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n+b_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n}\)을 만족시키는 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(1458 S_3\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 정적분과 미분의 관계 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[\int_1^x f(t)dt = x^4 + ax^3 + x^2 \int_2^3 tf'(t)dt + 52x\] 를 만족시킬 때, \(a\) 와 \(f(2)\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한에 대한 성질 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)-x} = \frac{1}{2}\)을 만족시킬 때, \[\lim_{x \to 0} \frac{35xf(x) + 5\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 + 3xf(x) - 2x^2}\] 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 로그함수의 그래프, 수열의 합 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

자연수 \(k\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = -\log_2 (k+1)x\), \(g(x) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{k+1}{k}x \right)\) (즉, \(g(x) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{k+1}{kx}\right)\)) 가 있다. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(h(x)\)를 \[h(x) = \begin{cases} f(x) & (g(x) \lt f(x)) \\ g(x) & (g(x) \ge f(x)) \end{cases}\] 라 하자. 곡선 \(y=h(x)\)와 직선 \(y=\log_2 k\)가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 \(l(k)\)라 할 때, \[\frac{10}{3} \times \sum_{k=1}^{9} l(k)\] 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ, 수학Ⅱ 수열의 합, 도함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = x^2 + ax + b\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(a+b)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.) (가) \(f(2) = f'(2)\)
(나) \(\sum_{k=1}^{15} \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1-2h)}{5h} = 90\)

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수학 I 삼각함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(0 \le \theta \lt 2\pi\)에 대하여 \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \frac{1}{\sqrt{6}}\) 이고 \(\cos \theta \lt 0\)일 때, \(\tan^2(\pi + \theta) + \sqrt{5}\tan \theta + 3\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 지수와 로그 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^x - 4 & (0 \lt x \le 2) \\ \log_3 x & (x \gt 2) \end{cases}\) 에 대하여 \(\sum_{n=1}^{3} f(f(f(n)))\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 정적분 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{0}^{x} tf(t)dt = f(x) + ax^3 + x^2 + x - 2\)를 만족시킬 때, \(f(a)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

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수학 I 거듭제곱근 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

자연수 \(k\)에 대하여 \(\sqrt[n]{(2^k)^7}\)의 값이 \(8\)의 배수가 되도록 하는 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)의 개수를 \(f(k)\)라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르는 과정을 서술하시오.

<보기>
ㄱ. \(f(7) = 2\)
ㄴ. \(f(k) = 2\)를 만족시키는 \(5\) 이하의 \(k\)의 개수는 \(2\)이다.
ㄷ. \(f(k) = 5\)를 만족시키는 \(10\) 이하의 모든 \(k\)의 값의 합은 \(24\)이다.

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수학 II 함수의 극한 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{9x^2-1} = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x\to \frac{1}{3}} \frac{9x^2-1}{f(x)} = \frac{1}{4}\)

\(\lim_{x\to \frac{1}{3}} \frac{\left|x-\frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)} = b\)를 만족시키는 두 상수 \(a, b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 극대와 극소 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

삼차함수 \(f(x)\)가 두 실수 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f'(\alpha) = f'(\beta) = 0\)
(나) \(f(\alpha)f(\beta) \lt 0\)
(다) \(|f(\beta)| = 2|f(\alpha)|\)

집합 \(A = \{x \mid |f(x)| - |f(t)| = 0\}\)의 원소의 개수가 홀수가 되도록 하는 모든 실수 \(t\)의 개수가 \(m\)이고, 이러한 \(m\)개의 실수 \(t\)의 값을 작은 수부터 차례로 \(t_1, t_2, t_3, \dots, t_m\)이라 하자. \(\frac{1}{|f(\alpha)|} \sum_{i=1}^{m} f(t_i)\)의 가능한 모든 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 정적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(0 \le x \lt 1\)일 때, \(f(x) = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\) 이다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 1) = f(x) + 1\)을 만족시킨다.

자연수 \(n\)에 대하여 \(p_n = \int_{n-1}^{n} f(x)dx\)라 할 때, 함수 \(g(x) = \sum_{n=1}^{100} (x - p_n)^2\)은 \(x = \alpha\)에서 최솟값을 갖는다. \(\alpha\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, \alpha\)는 상수이다.)

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수학 II 함수의 극한과 미분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-2} = 1\)
(나) \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x+2)}{f(x-2)} = 3\)

① \(f(2) \neq 0\)일 때, 위 조건을 만족시키는 함수가 존재하는지 서술하시오. ② \(\int_{0}^{3} f(x)dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 삼각함수와 도형 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 \(m\)이라 하자. 함수 \(f(x) = \sin \frac{\pi x}{n}\) 가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 30) = f(x)\)를 만족시킨다. 그림과 같이 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(4\)인 원에 내접하는 예각삼각형 \(ABC\) 에 대하여 점 \(O\)에서 세 선분 \(AB, BC, CA\)에 내린 수선의 발을 각각 \(D, E, F\) 라 하자. \(\overline{OD} : \overline{OE} : \overline{OF} = 12 : m : 6(3\sqrt{5} - 1)\)일 때, 선분 \(OE\) 의 길이와 \(\sin^2 B\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(\sin \theta+\cos \theta=\dfrac{1}{2}\) 일 때, \(|\sin \theta-\cos \theta|\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x-2)(x+1)f(x)=(x-2)(x^3+ax+b)\)를 만족시킨다. \(f(2)=1\)일 때, \(f(-1)\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
\(x \ne -1, x \ne 2\)일 때, \(f(x) = \dfrac{x^3+ax+b}{x+1}\)이고 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서 연속이므로
\(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\)이다. 즉, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3+ax+b}{x+1} = 1\)이므로 \(\boxed{\quad \text{①} \quad} = 0\). 또한, 함수
\(f(x)\)는 \(x=-1\)에서도 연속이므로 \(\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)\)이다. 따라서 \(\boxed{\quad \text{②} \quad} = 0\). \(a\)와 \(b\)를 구하면 \((a,b) = \boxed{\quad \text{③} \quad}\)이므로 \(f(-1) = \boxed{\quad \text{④} \quad}\).

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(2(x+1)f(x)\)의 한 부정적분을 \(G(x)\)라 할 때, 함수 \(G(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여
\(G(x) = (x+1)^2 f(x) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x\)
를 만족시킨다. \(G(0) = -2\)일 때, \(f(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

양수 \(k\)와 사차함수 \(f(x) = x^4 + \dfrac{8}{3}kx^3 - 6k^2x^2 + 3\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 \(a\)의 범위와 실수 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = a\)는 서로 다른 두 점에서 만난다.
(나) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = b\)는 서로 다른 세 점에서 만난다.

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

첫째항이 \(2\)인 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 함수 \[f(x) = \begin{cases} a_n - n + 5 & (a_n \ge 4) \ a_{n+1} - n + 5 & (a_n \lt 4) \end{cases}\] 라 하자. 함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(a_{10}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(x\ge 0\) 에서 정의된 함수 \(f(x) = |p\sin x - q| \; (p \gt 0)\)에 대하여 \(f(0) \gt f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\)이다.

직선 \(y = t\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 모든 점의 \(x\) 좌표를 작은 수부터 크기 순으로 나열한 수열이 등차수열이 되도록 하는 \(t\)의 값은 \(\alpha, \beta \; (\alpha \lt \beta)\) 뿐이다. \(t = \alpha\), \(t = \beta\) 일 때의 이 등차수열을 각각 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)이라 하자. \(\alpha + \beta = 12\)이고 \(\dfrac{f(b_3)}{a_4} = \dfrac{3}{\pi}\)일 때, \(2p - q\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

정의역이 \(\{x \,|\, x \ge 0\}\)인 두 함수 \(f(x) = ax^2 + bx\), \(g(x) = \log_2(x+1)\)에 대하여 함수 \(h(x)\)를 \[h(x) = \begin{cases} f(x) & (g(x) \lt f(x)) \ g(x) & (g(x) \ge f(x)) \end{cases}\] 라 하자. 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, \(h'(1) = \dfrac{1}{2\ln 2}\) 일 때, \(10(a+b)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

두 실수 \(x, y\) 에 대하여 \(\dfrac{1}{9x} + \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{2}\) 이고 \(512^x = 144^y\) 일 때, \(x = p\log_2 24, y = q\log_{12} 24\) 이다. p, q 그리고 \(9x\log_{24} 2 + y\log_{24} 12\) 의 값을 각각 구하는 과정을 서 술하시오. (단, p, q는 유리수이다.)

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

좌표평면에 점 \(A(2,0)\)과 원 \(x^2+y^2=4\) 위의 점 \(P\)가 있다. 동경 \(OP\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, 점 \(P\)와 \(\theta\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 선분 \(AP\)를 포함하는 부채꼴 \(AOP\)의 넓이는 \(\dfrac{3}{2}\pi\)이다.

(나) \(\dfrac{\cos\theta}{\tan\theta} \lt 0\)
\(\sin 2\theta\)와 \(\tan 3\theta\)의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(x) = f(x) + 2x^3 - 5x^2 - 5x\)를 만족시킨다. 방정식 \(f(x) = 4x^2 + 3\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + k\)는 \(x=a\)에서 극대이고, \(x=b\)에서 극소이다. 곡선 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(x=b\)에서 \(x\)축과 접할 때, 실수 \(a, b, k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

\(2\) 이상의 자연수 \(a\)에 대하여 원 \((x-1)^2 + y^2 = 1\)이 곡선 \(y = a^{\frac{x}{2}}\)와는 만나고, 곡선 \(y = a^x \times \left(\dfrac{3}{7}\right)^{-x}\)와는 만나지 않도록 하는 \(a\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

사차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를
\[g(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)}{x^2-1} & (|x| \ne 1) \\ x+p & (|x| = 1) \end{cases}\]
라 하자. 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x)+1}{f(x)} = 1\)일 때, \(g(p)\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 사차함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = (x^2-1)(ax^2+bx+c)\)라 놓을 수 있다. \(\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x)+1}{f(x)}\)가 존재하므로 \(p = \) [①] 이다. \(g(x)\)가 \(x=1\)과 \(x=-1\)에서 연속이므로 \(b = \) [②] 이다. 또한, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x)+1}{f(x)} = 1\)이므로 \(c = \) [③] 이다. 따라서 \(g(p) = \) [④] 이다.

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

\(a \gt 1\)인 상수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = 4 + \log_a(x+2)\)와 직선 \(y=5\)가 점 \(A\)에서 만나고, 곡선 \(y = a^{x+2} + 4\)와 직선 \(x=-1\)이 점 \(B\)에서 만난다. 두 직선의 교점이 점 \(P\)일 때, 삼각형 \(PAB\)의 넓이가 \(2\)가 되는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(\cos^2 x + 4\sin x + k \le 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
\[(x-2)f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+a}-5}{x^2+4}\]
를 만족시킨다. \(\dfrac{a}{f(2)}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 양수이다.)

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

일차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를
\[g(x) = x \int_0^x (tf(t)-11)\,dt - \int_0^x t^2 f(t)\,dt\]
라 할 때, 함수 \(g(x)\)는 \(x=2\)에서 극솟값 \(-20\)을 갖는다. 함수 \(g(x)\)가 \(x=k\)에서 또 다른 극솟값을 가질 때, \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(k \ne 2\))

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수학Ⅰ 수열 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

모든 자연수 \(n\)에 대하여 기울기가 \(-\dfrac{2}{3}\)이고 원 \(x^2 + y^2 = \dfrac{1}{9^n}\)에 접하는 직선을 \(l_n\)이라 하고, 직선 \(l_n\)과 \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(a_n\)이라 하자. \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

원 \(x^2 + y^2 = \dfrac{1}{9^n}\)의 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{3^n}\)이므로, 기울기가 \(-\dfrac{2}{3}\)이고 이 원에 접하는 직선 \(l_n\)의 방정식은 [①] 이다. 직선 \(l_n\)이 \(x\)축 및 \(y\)축에 둘러싸인 부분의 넓이 \(a_n = \) [②] 이므로, 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1 = \) [③] 이다. 따라서 \(\sum_{k=1}^{10} a_k = \) [④] 이다.

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수학Ⅱ 극한 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\)중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \((-1, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = g(x) - \frac{x}{1+x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ① ], \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ② ] .

\(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ③ ] ,

\(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ④ ] 이다.

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수학Ⅱ 미분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \((k, ak^2)\)에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

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수학Ⅱ 지수와 지수방정식 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\)이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 삼각함수의 정의 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\)축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \((a, b)\) 이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(b \ne 0\))

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수학Ⅱ 수열의 합과 일반항과의 관계 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = \frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 극한 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)와 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)를 만족할 때, \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 지수와 로그 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)의 최댓값이 2가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \ne -1\))

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수학Ⅱ 적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 속도를 각각 \(v_1(t), v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t) = 2t^3 - 12t^2 + 24t, v_2(t) = \frac{3}{2}t^2 + 9a (a \ge 0)\)이다. 두 점 A, B가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = -x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \((a, f(a))\) \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(l\), \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

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